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前面提到過慣性，慣性必然涉及外因的出現。宇宙中的事物總是相互聯系的（馬赫慣性系），對稱的事物及其外因是綁定的。當考察某事物對稱性變化時，外因的集合（外因的總體）是否滿足對稱，或外因與事物的關聯方式是否滿足對稱，都會對事物的演變、對稱破缺產生影響。而對影響結果的分析，可在不了解事物演變規律的情況下，進行粗略評估。

在上述闡述中，因導致果，是缺省說明的內在要求。稱這種關系為因果關系。佛教里面跨越時空的因果關系不在討論范圍內。我們討論的都是可以重復進行、反復驗證的因果關系。

以馬格努斯效應為例，如右圖。球向左飛行，如果球不旋轉，則球保持上下鏡像對稱，對稱中心線就是穿過球心的左右水平線。而球保持旋轉。則球的兩側相對空氣的速度有差異，破壞了上下對稱，即便不了解空氣壓力，也可知道球偏離原始的單純向左運動。至于向上還是下偏移，則需要了解運動規則細節才能知道。旋轉導致上下對稱破缺，產生軌跡偏移。因=對稱破缺，果=軌跡偏移，偏移方向位于對稱破缺的方向上，即上下方向（而不是垂直紙平面方向）。

法國人居里（他的妻子就是居里夫人）提出對稱性原理：原因中的對稱性反映在結果中，結果中的對稱性不少于原因中的對稱性。（對應的逆否定理自己給出）

同樣是球的飛行，現在方向變為從紙里向外垂直于紙面飛行，從球的正面觀察，球保持旋轉對稱，對稱軸是穿過球心的垂直于紙面的直線?，F在球存在旋轉，但旋轉軸和球的旋轉對稱軸重合！那么球的旋轉沒有破壞球在前進方向上的旋轉對稱性，因此不會對球的飛行軌跡產生任何影響?；鹌靼l展到十九世紀，出現線膛槍，射出的子彈就帶有旋轉，旋轉軸和子彈飛行軌跡重合。這種旋轉對空氣的干擾有很強的抵抗能力，準確度大大高于滑膛槍，現代的槍支都是線膛槍。

思考：

水是良好的溶劑，但是無法溶解油脂。因為水的分子結構對稱性低，雖然整體不帶電性，卻使得分子的某個方向產生電負性，相反方向是電正性。而油脂的分子對稱性高，整體和局部都不存在電性。水這樣的分子稱為極性分子，油脂類型的稱為非極性分子。可以想象，水能溶解的物質，都存在和水分子一樣的狀況，要么是極性分子，要么可以分離為電正性、電負性兩部分。而油脂類型的分子也可以做溶劑，比如汽油?？梢匀芙獾姆肿右脖厝皇菍ΨQ性程度接近，都是極性分子。比如手上沾了油漆，需要用汽油清洗。酒精，既可溶解極性分子（水），也能和非極性分子混合（香精）。從分子的結構來看，局部是極性分子，局部是非極性分子。但對極性分子和非極性分子的溶解能力都低于極性溶劑和非極性溶劑。洗潔精，使用的溶劑就和酒精類似，同時存在極性部分和非極性部分，可以洗滌油脂，并溶解于水。

平行四邊形，滿足鏡像對稱（穿過對角線交點的直線都是對稱中心線）、旋轉對稱（旋轉180度）。當變形時，對稱不產生破缺！依然保持平行四邊形。那么意味著平行四邊形可以任意變形。正三角形，滿足鏡像對稱（3個對稱中心線）、旋轉對稱（旋轉120度），通常的三角形沒有對稱性。那么三角形發生形變時，對稱性通常消失了。比較兩種形狀的對稱性變化情況，可得到結論：三角形形變是破壞性的，而平行四邊形形變則保持完整性。那么三角形形變的代價大于平行四邊形（如果三角形和四邊形都不存在對稱性，無法使用對稱性來分析）。立體結構中，正四面體的情況和平面中的正三角形類似。平行六面體和平面中的平行四邊形類似。那么同樣正四面體很難形變，而平行六面體很容易形變。自然界最硬的物質金剛石，就是正四面體結構，其他堅硬的物質（剛玉，通常形式，莫桑石），都存在三角形結構。滑石，就是平行六面體，硬度很低，不如指甲。

電磁波充斥著宇宙，電場和磁場相互耦合。直觀看起來，電場和磁場的對稱性類似。丹麥人奧斯特做了一個實驗，如右圖。在直導線上平行放置一個磁鐵，兩者位于紙面所在平面。當導線通電時，磁鐵偏轉，離開紙平面。整個實驗系統是保持同一平面內，作用雙方導線和磁鐵是平行，按照對稱性要求，合理的結果應該是磁鐵平行靠近或遠離導線（對稱性保持最高），或者南北極一方靠近，另外一方遠離（南北極的差異體現）?？傊潜３滞黄矫妗＝Y果卻破壞了對稱性。這說明不對稱性是出現在電場或（和，）磁場中（按照居里定理的逆否形式）。電荷有單獨的正電荷或負電荷，而磁極卻永遠是南北極共存，無法分離。這正是雙方對稱性不相同的外在表現。

中國歷史時間平移性維持了千年，同時保持了社會結構的對稱?；臼巧蠈咏ㄖ偷讓用癖?，不同朝代的上層出現方式不同，漢：世家，晉、南朝：上品，北朝：門閥，隋：門閥（時間短是因為門閥反擊楊廣成功），唐：門閥&gt;軍閥。宋：貴族消失，進入市民時代，中國進入頂峰時期，或許會改變時間平移性。但蒙古人入侵，中國滅亡。

迦太基是腓尼基人的移民國家。腓尼基公主避禍來到突尼斯灣，向當地人求借一張牛皮的土地棲身。獲準后將牛皮剪成長條，圈里一大塊地，修建了迦太基城。雖然采用了騙術，但對公主的承諾依然有效，如果是個王子的話，估計就是當地女首領同意的結果。問題是，牛皮長條的長度固定，所圈的土地是何種形狀才能保證面積最大呢？我們采用對稱的方法來解決。a.從直覺來看，牛皮繩索同樣長度對面積的貢獻應該是相同的。這個意味著從土地內觀察繩索，滿足旋轉對稱。土地就是圓形。b.從推理的角度，我們必須逐漸細化分析過程，獲知土地形狀。定義：1凸域，凸域邊緣任意兩點連一條直線，必然屬于內部區域，不會和邊緣有交點.2邊緣上某點和相距周長一半的另外一點的連線稱為徑。推理次序：b.1土地的形狀必然是凸的，為什么？b.2徑將土地分為兩塊，則兩塊的面積一定相等。b.3如果徑點所在地邊緣是直線段，則此線段必然和徑垂直。使用鏡像對稱證明。b.4邊緣不存在任何直線線段，邊緣是弧形的。使用鏡像對稱證明。b.5弧形邊緣的切線必然和切點對應的徑垂直，使用鏡像對稱證明。b.6不存在某點是兩段弧的交點，即此點存在兩條切線，切線的夾角不等于180度。使用旋轉180度對稱證明。b.7任意多個徑的交點為同一點。使用鏡像對稱證明。b.8徑的交點平分徑。使用鏡像對稱證明。b.9徑的長度都相等，使用鏡像對稱證明（*）b.10滿足以上條件的邊緣就是圓，土地就是圓形。#（若不使用對稱方法，則需要變分法來推理。）

按照上題的推理方式，證明固定面積所圍的封閉空間體積最大的形狀是球形。在球面上，兩點距離最短的線是什么？（線必須在球面上，不能穿越內部空間）（定義其中一點為北極，按照地球情況來看，北極和任意一點之間最短的線是什么？）最長的線又是什么？如何使用對稱原理來推理？國際航班路線，經常穿過若干個國家的領空，會發現穿過領空的國家在地圖上似乎并不在航線起點和終點之間。

現實的空間邊界難以精確界定，游戲中的空間通常都是精確的。以游戲人物的包裹為例，都是二維的離散格子組成的空間。裝入的物品也是小型號的二維離散格子，那么在填充包裹時，如何才能包裹容納效率最高？隨便在包裹中亂放物品，剩余空間會變得非常破碎，導致雖有足夠的剩余空間，但無法放置一個物品。剩余空間以何種指標指示，才能反映剩余空間的完整程度？如有可能，編程實現包裹自動安置物品，使得包裹可以最大程度地滿置。

前面提到蜂巢，表現為正六邊形，完整地布滿整個平面。布滿平面而沒有縫隙的形狀有正三角形，正方形和正六邊形（事實上，正五邊形和等腰三角形混合、正方形和正三角形混合、2種菱形混合都可以鋪滿平面不留縫隙）。當設定以最小的邊長總和來劃分某面積時，毫無疑問，最接近圓的形狀滿足條件，結論就是正六邊形劃分平面。所以蜜蜂的蜂巢就是這一結果，可以最節省建筑材料。

信息的對稱問題。在變換中，如果初始的信息沒有任何損失，全部存在于結果中，那么從結果可以反推初始信息。我們對世界的認識就是以這種信息的反推得到。如果變換中損失部分初始信息，那么從結果反推初始信息將有兩種情況：1.無法反推。2.反推出多個初始信息。現代密碼算法，避免破譯的方法就是制造信息損失（損失的信息就是密碼?。Ｍㄓ嵵械募用苄盘枺€要和偽隨機信號進行處理，得到近似隨機信號，讓信號進入徹底的熱寂狀態。加密過程的復雜程度和解密過程的復雜程度不對稱（這些過程的通常名稱叫算法），解密復雜程度更高，使得復原信息的代價大幅度增加，當代價大于信息的價值時，我們就認為加密是有效的?，F實生活中說某人的城府深淺，也是信息隱藏的另類稱呼。比如說胸有驚雷而面如平湖，隱藏對某信息的反應，以欺騙觀察者?；蚣侔V不癲，直接給出錯誤信息。我們的眼睛為什么是兩只？我們觀察的三維對象，進入我們的眼睛，投影在視網膜上。而視網膜是二維，因此必然出現信息丟失。而同一對象中兩只眼睛的視網膜上的投影是有差別的，這種差別彌補了投影帶來的信息損失，使得我們的大腦可以加工出對象的真實情況。剛才的分析可以得到什么結論呢？差別=信息！這就是為什么彩色的世界比黑白的世界更豐富，原因就是差異更大。同等的差異程度，信息相同嗎？狗咬人，人咬狗，差異程度類似，但是一個很常見，一個很罕見。則罕見的差異信息更多。波特蘭.羅素曾說過：參差多態乃幸福的本源。信息豐富，至少精神追求多樣化。人失去個性，僅存共性，就成為卡夫卡所說的“沒有面孔的人”，連環畫中的士兵都是這樣。

觀察宇宙，由光譜和多普勒效應，我們得到宇宙正在膨脹！那么能否由觀察不同距離的遠離地球的速度，推導出宇宙的膨脹中心呢？二十世紀二十年代，美國天文學家沙普利建立了銀河系模型，并根據觀察來確定中心與直徑。但站在地球上觀察銀河，只能看到天空中它的原始意義，因為太陽是位于銀河系中。通常是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，但我們依然推導出銀河整體的全部信息。從對稱的角度來看，按照居里定理，純粹的內部視角信息無法推理出以外部視角觀察到信息。就像一個人不借助外部因素，無法把自己提起來一樣。所以借助了銀河系以外的觀測信息進行補充。內部視角信息+內部視角觀察外部所得信息&gt;外部視角的信息。銀河的中心、直徑、恒星數量估計，這些信息是僅與自身相關，而運動方向及速度、旋轉速度信息是從銀河外視角觀察的。當給出宇宙邊界的界定方式、恒星的演變規律、宇宙的模型，那么僅與宇宙自身相關的信息就可以通過觀測的數據進行反演。數據同時可以修正模型，這樣反復進行，就在對宇宙而言塵埃一樣存在的地球上，得到宇宙的景象！而宇宙是膨脹的&gt;宇宙具有起點&gt;宇宙居然可能不是永生的！

能量轉換的對稱問題。功轉熱，效率100%，熱轉功，效率&lt;100%。因此熱功轉換不對稱。這種不對稱產生的后果就是時間單向性。若熱功轉換對稱，則永生都是可能存在。但實際上一個物質能量封閉系統，最終進入熱寂。

梅樂芝經理的科普文章（十三）

第13節分形和混沌

標度對稱，放大縮小后保持不變，換而言之，對象的一部分和整體相似。一朵白云，取其一半，還是一朵白云。而通常的物體，比如一個汽車，取其一半，只是汽車零件而已。但是，在地球上任何實際的物體，不能持續按照標度對稱的方式，反復取其一半。因為到達分子階段，物體的外在形式已不存在。在我們的想象中，或理論思考中，我們可以認為這樣一種局部和整體相似的情況存在，不必反復進行放大或縮小。

海螺的體型，幼年和成年完全可以認為是放大縮小關系。但是人的體型，幼年和成年，完全不同。比如嬰兒的眼睛位于頭部中間，成人卻是位于頭部三分之二。嬰兒的頭部和身高比例是1：5，隨著年齡增加，頭部身高比例降低到1：7。對動物而言，多數都不滿足幼年和成年身體尺寸比例恒定。前面曾闡述過動物的身體重量、攝入食物量、散熱狀況、身體骨骼承受能力相互之間的關聯。因此按比例放大是不可能存在。而海螺類似的動物，其身體類似一個扁平的餅狀，螺旋狀的管道形成身體結構，內部并無骨骼，移動需求也可以忽略。并且隨著體型變大，螺管的厚度也在增加。和其他無恒定比例的動物結構完全不同。

樹木和動物有很大區別。每顆樹都有根部，依賴根部從土壤獲得的水分和礦物質。每根樹枝依賴母枝提供養料，母枝對樹枝而言就是土壤。則樹枝的成長過程和樹木本身完全類似，僅僅是規模不同。而動物的身體各部分功能不同，整體才能組成生命體。且各部分的生長方式完全不同，對身體而言，不存在局部和整體類似的生長狀況（少數動物，比如蚯蚓，身體分為兩段，可以獨自繼續成長。這類型的動物接近標度對稱）。

自然界中，局部和整體相似處處存在。一個樹枝，上有分枝，分枝又有小枝，小枝還有樹葉。這個和樹本身就很相像。從衛星角度觀察海岸線，曲曲折折。從飛機上觀看海岸線，曲曲折折。走在海邊，看海水的邊緣，曲曲折折。雖然不盡相同，但是曲曲折折的形象完全雷同。攀登山峰，總是看到更遠處的高山。待到登上高峰，發現遠處連綿不絕的山脈繼續在前方蔓延。雖然形狀稍有不同。但是連綿不絕形成的山色涂層，如同畫布上的色帶一樣，顏色逐漸遞淺。雖不是秋水共長天一色，卻是極目楚天舒的效果。無論在那里登山，層層疊巒的風景依然歷歷在目，禁不住讓人喊道：我又回來了。

現代電腦游戲的效果越來越逼真，山脈、云彩、森林、星球都很難分辨是照片或電腦生成。這些外在差異巨大的對象，以計算機的視角來看區別很小，整體的計算機描述沒有區別，僅僅是若干細節的數值不同。我們來觀看如何生成雪花的輪廓。線段長為3，對其三等分，補充兩個長度為1的線段，令補充的線段和三等分中間的線段組成一個正三角形。然后去掉線段三等分中間的一段。我們把這個過程稱為構造過程。現畫一個正三角形，對每一個邊進行構造過程，則產生12個線段，對新生成的12個線段再進行構造過程。則產生48個線段。對新生成的線段重復進行構造過程，持續不斷。最后就生成了一朵雪花的輪廓。最早由瑞典人koch構造，稱為koch雪花。

koch雪花有什么特點呢？每構造一次，線段的長度就為原長度的4/3倍。重復進行下，則線段長度無限增加。雪花的面積最終是多少呢？設原三角形面積為1，最后的雪花面積為1.6。面積是有限值，而長度無限增加！通常的線段長度都是有限的，而koch構造的線段長度無限，按照前面定義的一維（長度）、二維（面積）、三維（體積），koch的線段并不滿足通常的維數定義。雖然是線段，不可能是二維，但長度無限，也不是一維情況。為了能夠使用維數來定義對象，我們取消維數是整數的要求。那么koch線段的維數就處于一維和二維之間的某個數值！標度對稱中的增加系數，就是構成過程進行一次線段長度增加的比例4/3。

觀察人體的肺泡，前面曾介紹，為了充分進行氣體交換，人體的肺泡數量多而體積小，在總體積不變的情況下，肺泡面積大幅度增加。如圖為肺泡示意圖。可以看到，和樹木的情況類似，氣管是樹干，支氣管是樹枝，支氣管下分的小管道是小枝，肺泡是樹葉。如果這個過程持續分散下去，最終肺泡面積會達到無限，但實際的生物世界總是存在限制，但從思考的角度可以認為肺泡也是一類型的標度對稱。其特征是體積有限，但面積無限！因此人體肺組織的維數就是介于二維和三維之間。標度對稱中的增加系數，就是肺泡每級分割空間所增加的面積比例。

現在我們命名這些維數居然不是整數的對象，稱為分形對象。可發現，這些對象僅僅是滿足標度對稱的特定分類。標度對稱的增加系數則依賴構造過程中的表征增加比例，比如長度增加比例。

思考：

1.在現有世界中，我們可以觀察的靜態對象最大維數為3。當維數不限定為整數后，可觀察大量維數0～3之間的對象。那么是否存在維數大于3的對象？膨脹的宇宙算否？

2.koch線段的標度對稱增加系數為4/3，維數介于1和2之間，能否使用4/3來描述其維數？回憶我們對維數的定義，這樣的增加系數是否滿足重的要求？對于肺泡這樣的對象，如何使用增加系數來定義維數？以汽車的尾氣凈化裝置中的鉑顆粒的分形過程為例，嘗試給出維數數值。

3.如右圖構造，對線段取三等分，去掉中間的一段。重復構造下去，則線段的長度為0！此時線段的維數小于1。線段最后變成無數個離散的點，線段已經無法維持，成為點集。以德國人cantor的名字命名。

4.如右圖構造，在立方體的某個面上，九等分為九個正方形，挖掉中心正方形對應的立方體，對其他五個面也同樣進行挖掉中心立方體。也就是對立方體二十七等分，挖掉各面六個，最后將立方體中心的小立方體（顏色涂黑的部分）也挖掉。以上操作完成一次構造。反復進行同樣構造，最后立方體的體積為0，面積無限，變成一塊海綿，以波蘭人sierpinski的名字命名。嘗試給出維數。觀察面筋、凍豆腐、雪魔芋。

5.皮蛋，又稱松花蛋，在蛋白表面存在若干花紋，類似松花。形成的原因稱為粘性指進（viscousfingering），因流體粘度不同，粘度小的流體滲透進粘度大的流體時產生的隨機分叉狀況。（皮蛋的蛋白液變性，失去生物活性，成為凝固狀蛋白，通常稱這種現象為中毒。早期皮蛋的外包藥劑中含有鉛的氧化物，俗稱密陀僧?，F代皮蛋工藝中去掉了鉛，采用鋅或銅的氧化物。）

分形的構造過程中，重復進行構造，每次構造的規模不同，依次遞減，我們將這種遞減規模的重復構造行為稱為遞歸。標度對稱和遞歸是對同一種現象的不同視角描述：標度對稱側重整體特征，是靜態描述；遞歸側重實現過程，是動態過程。事實上，規模的遞減是表面現象，遞歸的本質是：每次遞歸都在上次遞歸的結果上進行。

現代軍隊的組織是標度對稱。以三三制為例：一軍三師，一師三團…；變成一顆樹的情景。樹根是軍，樹干是師…樹葉是士兵。軍隊的指揮是遞歸過程，軍長給師長下令，師長給團長下令…班長指揮士兵。每個指揮者僅僅指揮若干個下屬即可。

分形都存在對應的遞歸實現。以sierpinski墊片為例。a：如圖所示，面積逐漸減少，最后為0。b：讓人震驚的另類遞歸構造。1.在三角形內任意取一點，如右圖中的十字星位置，2.隨機選三角形一個頂點和十字星點連接，取連線中點，用五角星表示。3.使用步驟2生成的五角星點為頂點，重復步驟2。最后也生成了sierpinski墊片。注意：在表面上看此遞歸過程和上圖中的遞歸不同，但實質都是依賴上次構造過程的結果來進行。由居里對稱定理來分析，初始值是隨機，過程對稱，群體結果居然是對稱！似乎不滿足定理。但初始值隨機，則全部隨機的初始值可以布滿整個三角形內部，意味著初始值的群體是對稱的。即消除了個性的群體屬性是對稱的，對稱的原因&gt;對稱的過程&gt;對稱的群體結果。那么任意一個隨機初始值，不過是這個對稱過程的具體實施。（結果是群體的！假設結果也是個體的，則初始群體的對稱&gt;結果群體的對稱，單個初始和單個結果是否對稱，則完全不知！此刻是個體&gt;個體，而非個體&gt;群體）（并非所有的隨機初始&gt;對稱過程&gt;對稱群體結果，但群體結果的和是對稱的。）

sierpinski墊片內包含任意一維的圖形。按照a生成方法，結果讓人很難相信，一個所有條件都固定的生成方法居然可以包含任意一維圖形。但按照b生成方法，由于初始值是隨機的，出現任意的一維線條組合似乎容易接受。在koch構造中，新增加的2個線段突起的方向固定是起點到終點的左邊。若讓突出方向變為隨機，則koch線段也可以包含任意一維圖形。你能想象到的一維任意復雜圖形，都沒有sierpinski墊片和隨機koch線段復雜！這種包含了全部（!）一維圖形的一維圖形，我們稱它實現了一維圖形的遍歷。普通的koch線段內，存在平移對稱或旋轉對稱，無法滿足遍歷性。

最早研究分形的幾何圖形的人是法國人本華?曼德博（mandelbrot），他使用復數遞歸給出了極其漂亮的分形圖形，這些圖形充分闡述了分形的特征，自相似，也就是標度對稱。

思考：

1.我們的大腦，保持分形結構，存在大量褶皺，使得大腦皮層的面積達到很高的數值。我們大腦的神經細胞（神經元）連接方式的可能性居然比宇宙中的原子數目還多！神經元的連接方式如果能遍歷任意組合，那么我們將成為神！實際上我們大腦負責處理多數事物的神經元連接方式組合遠遠超過其他動物，因此在競爭中所向無敵。但組合方式數量始終是有限的（在很多項目上，因為處理神經元數目少，所以據劣勢。比如視力vs隼，嗅覺vs豬；但理性思考和抽象思考方面的能力，使得人極度膨脹，喪失理性，有著成為神的沖動。）

2.不同尺度海岸線的曲折類似狀況，蘊含著標度對稱，就意味著存在遍歷一維曲線的能力。通?？梢允褂秒S機koch來模擬海岸線。海岸線決定于大陸板塊的運動、冰川變化、河流泥沙的沉積。而這些和地球內部流體運動、大尺度氣溫變遷相關聯?？梢哉f著小尺度上，決定海岸線的因素很隨機，在大尺度上也很隨機，直到地球板塊階段，大致輪廓才能確定。這也正是隨機koch線段可以模擬海岸線的原因。

3.地質運動和火山這兩種造山起因完全不同，所以山的外在表現特征不同。撇去山上的植被，無論規模大小，都存在不同程度的相似性。山的體積是有限值，而表面積無限擴充。和海綿相同，都是介于二維和三維的對象?；鹕絿姲l時，會產生大量浮石，可漂浮在水面上。這些浮石都是海綿類型的分形結構。由于孔狀連接畢竟是巖石材質，可以作為搓腳石，去除體表死皮組織。

4.遞歸的本質給出了一個限制，上次遞歸的結果作為本次遞歸的初始值，那么意味著遞歸的輸入和輸出是同一類型。如果輸入和輸出完全不同類型，比如能量和時間，那么無法完成遞歸。在物理系統中，可通過變換過程的作用方式，使得輸入輸出完全同類型。最簡潔的類型：輸入輸出是純粹的數值，沒有任何單位。在物理上稱為無量綱方法，由美國人buckingham提出的Π定理來處理。在數學上，數值沒有區別，但是存在數的組織方式的差異（標量、矢量、矩陣…）。當組織方式相同時，遞歸的方法一般稱為迭代（過程一般稱為算子）。數值大小上的差異：在計算機實施運算時，數值差異太大，導致表達誤差的放大。讓輸入輸出的數值大小接近（最好是在1附近），最大程度地保持精度，稱為歸一化處理。遞歸結束時，輸出為最終結果，那么遞歸過程的中間產物從幾何角度來看，就是不斷接近最終結果的過程，可把最終結果稱為不動點。如果中間結果和不動點之間的距離在持續減小，則過程是單調的?，F實的世界總是存在誤差，無法完美地抵達不動點。通常在中間結果在小范圍變動而不逾越范圍時結束遞歸，稱遞歸停滯，并以此時中間結果為最終結果。

分形必然意味著遞歸，但遞歸不一定產生分形！分形是遞歸的充分條件，遞歸是分形的必要條件。意味著分形和遞歸兩者不對稱。那么產生分形和不產生分形的遞歸，存在什么差異？

在自然界，任何變動，都可以從多個角度來觀察。從能量的角度，系統任何變動都可以分類為獲得能量、能量不變、失去能量中的一類。失去能量過程，能量最低為0，無法為負。因此這類過程不可能產生遍歷狀況，因為能量比初始大的情況永遠無法出現。獲得能量過程，如果能量持續增加，最后到無限大。但能量低于初始值的情況無法出現。因此如果遞歸過程出現遍歷，就必須：1.能量放大。2.能量不是單調放大，中間出現反復（震蕩），進入低能量狀態。能量不變，則能量任意轉換。由能量轉換的不對稱性，最終能量變為無價值的熱，無法實現能量遍歷。能量無限大，這個無法在我們的宇宙出現。因此換視角，以狀態的視角來觀察遞歸過程。狀態變動存在范圍，那么觀察狀態是否遍歷整個范圍。狀態變動，如果存在不動點，無論是單調接近還是震蕩接近，都意味著無法遍歷。如果中間結果的變動范圍：1.始終不存在收縮，2.并且無規律可尋，那么意味著遍歷（變動范圍一直在增加，可能出現嗎？）！我們把遍歷狀態的過程稱為混沌過程。

在一個區間內出現遍歷，和無限制的遍歷，是等效的嗎？遍歷意味著標度對稱，那么有限區間可以放大到無限，因此遍歷等效。因此觀察遞歸是否產生分形，則觀察遞歸是否存在上述的兩個特性。